P8612 [蓝桥杯 2014 省 AB] 地宫取宝

题目描述

X 国王有一个地宫宝库。是 $n \times m$ 个格子的矩阵。每个格子放一件宝贝。每个宝贝贴着价值标签。

地宫的入口在左上角，出口在右下角。

小明被带到地宫的入口，国王要求他只能向右或向下行走。

走过某个格子时，如果那个格子中的宝贝价值比小明手中任意宝贝价值都大，小明就可以拿起它（当然，也可以不拿）。

当小明走到出口时，如果他手中的宝贝恰好是 $k$ 件，则这些宝贝就可以送给小明。

请你帮小明算一算，在给定的局面下，他有多少种不同的行动方案能获得这 $k$ 件宝贝。

输入格式

输入一行 $3$ 个整数，用空格分开： $n$ ， $m$ ， $k (1 \leq n, m \leq 50, 1 \leq k \leq 12)$ 。

接下来有 $n$ 行数据，每行有 $m$ 个整数 $C_{i} (0 \leq C_{i} \leq 12)$ 代表这个格子上的宝物的价值。

输出格式

要求输出一个整数，表示正好取 $k$ 个宝贝的行动方案数。该数字可能很大，输出它对 $1000000007 (1 0^{9} + 7)$ 取模的结果。

输入输出样例 #1

输入 #1

2 2 2
1 2
2 1

输出 #1

输入输出样例 #2

输入 #2

2 3 2
1 2 3
2 1 5

输出 #2

说明/提示

时限 1 秒, 256M。蓝桥杯 2014 年第五届省赛

思考历程

首先题目说我们只能向右或者向下移动，并且如果想拿当前宝物，既要保证比手里所有宝物都大。那么这样来看我们肯定要用DFS，但是这个时候我们就要思考一下，普通DFS真的可以吗？

试想一下，我们简单的走迷宫，方案数就是简单的走迷宫，方案数是 $C_{n + m - 2}^{n - 1}$ ，这个数值实在是太超标了，那么我们就要进行优化，那么针对题目特性，我们思考：当我们走到一个固定的格子（x,y），我们需要知道以前我们是怎么过来的吗？很显然，不需要，我们只需要知道，我们现在在哪里，手里有几个宝物，手里宝物最大度价值是多少？有了这四个参数，我们会发现只要这四个参数相同，无论你是怎么走过来的，后续方案数都是一模一样的。所以我们将采用记忆化搜搜~

AC

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// Created by 23264 on 2026/2/7.
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#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
 
int n,m,k;
vector<vector<int>> Maze;
vector<vector<vector<vector<int>>>> visited;
int dx[2] = {1,0};
int dy[2] = {0,1};
constexpr int MOD = 1000000007;
 
int dfs(int x,int y,int cnt,int maxx)
{
    // 1. 记忆化检查：如果这个状态算过了，直接返回
    // max_val + 1 是因为 max_val 初始可能是 -1，映射到数组下标 0
    if (visited[x][y][cnt][maxx + 1] != -1)
    {
        return visited[x][y][cnt][maxx + 1];
    }
 
    long long ans = 0;
 
    // 2. 终点判断 (Base Case)
    if (x == n - 1 && y == m - 1)
    {
        // 情况A：手里已经是 k 个，且不拿终点这个（或者终点这个不能拿）
        if (cnt == k)
        {
            ans++;
        }
        // 情况B：手里是 k-1 个，且拿了终点这个正好凑够 k 个
        else if (cnt == k - 1 && Maze[x][y] > maxx)
        {
            ans++;
        }
 
        return visited[x][y][cnt][maxx + 1] = ans % MOD;
    }
 
    // 3. 递归逻辑：分为【取】和【不取】两种情况，然后往右或下走
 
    // 策略一：【不取】当前格子的宝物
    // 状态变化：cnt不变，max_val不变
    for (int i = 0;i < 2;i++)
    {
        int nx = x + dx[i];
        int ny = y + dy[i];
        if (nx < 0 || nx >= n || ny < 0 || ny >= m)
        {
            continue;
        }
 
        ans = (ans + dfs(nx,ny,cnt,maxx)) % MOD;
    }
 
    // 策略二：【取】当前格子的宝物
    // 前提：当前宝物价值 > 手中最大值 且 还没拿满 k 个
    if (Maze[x][y] > maxx && cnt < k)
    {
        for (int i = 0;i < 2;i++)
        {
            int nx = x + dx[i];
            int ny = y + dy[i];
            if (nx < 0 || nx >= n || ny < 0 || ny >= m)
            {
                continue;
            }
 
            // 状态变化：cnt + 1，max_val 变为当前格子的价值
            ans = (ans + dfs(nx,ny,cnt + 1,Maze[x][y])) % MOD;
        }
    }
 
    // 记录结果并返回
    return visited[x][y][cnt][maxx + 1] = ans;
}
 
int main()
{
    cin >> n >> m >> k;
    Maze.resize(n,vector<int>(m,0));
    visited.resize(n,vector<vector<vector<int>>>(m,vector<vector<int>>(k + 1,vector<int>(14,-1))));
    for (int i = 0;i < n;i++)
    {
        for (int j = 0;j < m;j++)
        {
            cin >> Maze[i][j];
        }
    }
    cout << dfs(0,0,0,-1) << endl;
}

枫禾(¬‿¬)

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